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数学二考试大纲

    [考试科目]
    高等数学、线性代数初步

    高等数学
    一、函数、极限、连续
    考试内容
    函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性反函数、复合函数和隐函数
    基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立
    数列极限与函数极限的定义以及它们的性质
    函数的左、右极限
    无穷小
    无穷大穷小的比较
    极限的四则运算
    极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则
    两个重要极限（略）函数连续的概念
    函数间断点的类型
    初等函数的连续性
    闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理）

    考试要求
    1．理解函数的概念，会作函数符号运算并会建立简单应用问题中的函数关系式。
    2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
    3．理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
    4．掌握基本初等函数的性质及图形。
    5．理解极限的概念，理解函数的左、右极限概念及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
    6．掌握极限的性质及四则运算法则。
    7．理解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法。
    8．理解无穷孝无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
    9．理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
    10．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。

    二、一元函数微分学
    考试内容

    导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线及其方程基本初等函数的导数导数和微分的四则运算反函数、复合函数。隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数的概念某些简单函数的门阶导数一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用罗尔（Rolle）定理拉格朗日（LAGRANGE）中值定理柯西（Cauchy）中值定理泰勒（Taylor）定理洛必达（L’HOspiial）法则函数的极值及其求法函数增减性和函数图形凹凸性的判定函数图形的拐点及其求法渐近线描绘函数的图形函数最大值和最小值的求法及其简单应用弧微分曲率的概念及计算曲率半径方程近似解的二分法和切线法

    考试要求
    1．理解导数和微分的概念。理解导数的几何意义并会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量。理解函数的可导性与连续性之间的关系。
    2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，以及微分在近似计算中的应用。
    3．了解高阶导数的概念。掌握初等函数的求导方法，会求分段函数的一阶、二阶导数，并会求一些简单函数的”阶导数。
    4．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数
    5．理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理，并会运用它们解决一些简单间题。
    6．理解函数的极值概念、掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，会求函救的最大值、最小值及其简单应用。
    7．会用导数判断函数阴形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
    8．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
    9．了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。
    10．了解求方程近似解的二分法和切线法。

    三、一元函数积分学
    考试内容

    原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和性质积分中值定理变上限定积分及其导数牛顿一莱布尼茨（NewtOn一libni幻公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单元理函数的积分广义积分的概念及计算定积分的近似计算法定积分的应用

    考试要求
    1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念。理解定积分中值定理。
    2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及换无积分法与分部积分法。
    3．会求有理函数、三角函数的有理式和简单元理函数的积分。
    4．理解变上限定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式
    5．了解广义积分的概念并会计算广义积分。
    6．了解定积分的近似计算法。
    7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体体积、变力作功引力、压力和函数平均值等）。

    四、常微分方程
    考试内容
    常微分方程的概念微分方程的解、通解、初始条件和特解变量可分离的方程齐次方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用

    考试要求
    1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
    2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，会解齐次方程。
    3．会用降阶法解下列方程：（略）
    4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。
    5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
    6．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

    7．会用微分方程解决一些简单的应用问题；

    线性代数初步
    一、行列式
    考试内容
    行列式的定义、性质及计算

    考试要求
    1．了解行列式的定义、性质。
    2．掌握二阶、三阶行列式的计算法，会计算简单的N阶行列式。

    二、矩阵
    考试内容
    矩阵的概念单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵以及它们的性质矩阵的线性运算矩阵的乘法矩阵的转置逆矩阵的概念矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换矩阵等价矩阵的秩初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法

    考试要求
    1. 了解矩阵的概念。
    2. 了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵和三角矩阵，以及它们的性质。
    3. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。
    4. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，了解矩阵可逆的充分必要条件。了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
    5．理解矩阵的秩的概念。
    6. 掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

    三、线性方程组
    考试内容
    向量的概念。向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系线性方程组的克莱姆（Crammer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、齐次方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解行初等变换求解线性方程组的方法

    考试要求
    1．了解N维向量的概念。
    2. 了解向量组线性相关、线性无关的定义。
    3. 了解有关向量组线性相关、线性无关的基本性质。
    4. 了解向量组的极大线性无关组与向量组的秩的概念。
    5．了解克莱姆法则。

    6. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
    7. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。
    8. 理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念。
    9．会用行初等变换求线性方程组的通解。

    [试卷结构]
    （一）内容比例
    高等数学约85％
    线性代数15%

    （二）题型比例
    填空题与选择题约30％
    解答题（包括证明题）约70％

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